Скачать программы    Все программы автора

2. 1. 3. Уравнение прямой на плоскости

При решении различных задач конструирования используются графические редакторы и специальные программы автоматизированного конструирования. С помощью таких программ можно рисовать на экране различные рисунки, эскизы деталей. В программах графического редактора используются формулы из аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Приведем уравнения, позволяющие строить простейшие фигуры на плоскости. Пусть на плоскости задана правая прямоугольная система координат XoY.

Уравнение прямой, проходящей через две точки "1" и "2":

y = F(x) = D * (x-x1)+y1; или y = D * x+D1;

где D = tg(alf) = (y2 - y1)/(x2 - x1); D1=y1 - D * x1;

Уравнение прямой в общем виде:

F(x,y) = A * x + B * y + C = 0;

где A= y2 - y1; B= - (x2 - x1); C= - A * x1 - B * y1;

Рассмотрим задачи, связанные с определением принадлежности точки с координатами (Xt, Yt) области, ограниченной заданной прямой Y=F(x).

При Yt > Y = F(Xt) получаем:

Yt > D * (Xt-x1)+y1; или F(x,y)= A * Xt + B * Yt + Ci > 0; где (B > 0)

- неравенства, определяющие область точек (Xt, Yt), лежащих выше прямой Y=Fi(x).

Для прямой, параллельной оси "Y" при Xt>x1 - точки лежат правее прямой x=x1.

Приведем неравенства, определяющие область точек (Xt, Yt) фигур:

a) прямоугольник : |Yt|<b and |Xt|<a; площадь S=4 * a * b;

b) ромб : a * |Yt|+b * |Xt|<a * b; площадь S=2 * a * b;

c) параллелограмм : |Yt|<b and (c-a) * Yt-b * (a+c)<2 * b * Xt<(c-a) * Yt+b * (a+c);

площадь S=2 * b * (a+c);

Рассмотрим область треугольника, заданного координатами трех вершин:

1 - (x1, y1), 2 - (x2, y2), 3 - (x3, y3). Площадь треугольника:

S = 0. 5 * abs((x1-x2) * (y1+y2)+(x2-x3) * (y2+y3)+(x3-x1) * (y3+y1))

Пусть прямая F 1 (x,y)=0 проходит через точки 1 и 2. Точка (Xt, Yt), лежащая внутри треугольника находится с той же стороны, что и точка 3, тогда неравенства для обоих точек имеют одинаковый знак, т. е. их произведение положительно:

F 1 (Xt,Yt) * F 1 (x3,y3) > 0

Аналогично для других сторон треугольника, получаем:

F 2 ( Xt , Yt ) * F 2 (x1,y1) > 0

F 3 ( Xt , Yt ) * F 3 (x2,y2) > 0

Выполнение трех неравенств определяет точку в треугольнике.

Практическое задание N 2. 7

1. Рассчитать число попаданий при стрельбе в прямоугольник, параллелограмм, ромб, смещенные на x0, y0 и в треугольник, заданный координатами своих вершин. Фигуры находятся внутри круга радиуса R. Разброс точек равномерный по площади круга: угол f=2 * Pi * Random; радиус r=R * O Random . Сравнить число попаданий с теоретической вероятностью, равной отношению площади фигуры к площади круга. При визуализации стрельбы точки, попавшие в мишень, отмечать другим цветом.