Скачать программы    Все программы автора

2. 2. 2. Оптика и свет

Геометрическая оптика.

Задачи оптики связаны с графическими построениями падающих, преломленных и отраженных лучей.

Рассмотрим задачу построения траектории преломленных и отраженных лучей при прохождении границы раздела двух прозрачных сред.

Углом падения называют угол, образованный лучом и нормалью к поверхности в точке падения. Согласно закону отражения света угол падения луча равен углу отражения. Углом преломления называют угол, образованный лучом, прошедшим через границу раздела двух сред, и нормалью к поверхности в точке падения. Согласно закону преломления света проходящего из среды с показателем преломления n 1 в среду с показателем преломления n 2 зависимость между углом падения fi 1 и углом преломления fi 2 имеет вид:

sin(fi 2 )/sin(fi 1 )=n 1 /n 2 .

В случае расположения источника в более плотной среде n 1 >n 2 , при угле падения луча большем, чем fip=arcsin(n 2 /n 1 ) происходит полное отражение луча. В случае расположения источника в менее плотной среде n 1 <n 2 существует оптимальный угол падения луча fio=arctg(n 1 /n 2 ) при котором потери отраженной и поглощенной энергии наименьшие.

Пусть источник света расположен в среде с n 1 >n 2 , а граница раздела сред проходит по оси "Х".

Алгоритм построения траектории луча следующий:

1) Задаем координаты и угол выхода луча x 0 , y 0 , fi 1 .

Вычисляем fip с использованием формулы: arcsin(x)=arctg(x/ O (1-x 2 )) .

2) Определяем проекции падающего луча: fx 1 =abs(y 0 ) * tg(fi 1 ); fy 1 =abs(y 0 ); и строим вектор из т. (x 0 , y 0 ) в т. (x 1 =x 0 +fx 1 , y 1 =0).

3) Если fi 1 <fip, то вычисляем угол преломления fi 2 , проекции преломленного луча: fx 2 =abs(y 0 ) * tg(fi 2 ); fy 2 =abs(y 0 ); и строим вектор из т. (x 1 , y 1 ) в т. (x 2 =x 1 + fx 2 , y 2 =fy 2 ).

4) Определяем проекции отраженного луча: fx 3 =abs(y 0 ) * tg(fi 1 ); fy 3 = - abs(y 0 ); и строим вектор из т. (x 1 , y 1 ) в т. (x 3 =x 1 +fx 3 , y 3 =fy 3 ).

Рассмотрим задачу построения траекторий преломленных лучей, проходящих через прозрачную трехгранную призму . Известно, что луч белого цвета разлагается на составляющие цвета из - за разности коэффициента преломления для монохромных лучей, поскольку длина волны зависит от плотности среды.

Например, для стекла - тяжелый флинт:

Цвет Красный Желтый Зеленый Синий Фиолетовый

"n 2 " 1, 644 1, 650 1, 66 1, 68 1, 685

Луч, выходящий из источника света под углом "al 1 " к оси "Х" падает на первую грань призмы под углом "fi 1 ". Преломленный луч падает на вторую грань призмы под углом "fi 3 " и выходит под углом "al 4 " к оси "Х".

Алгоритм построения луча, проходящего через призму:

1) Строим призму при заданных углах "fp 1 " , "fp 2 " и высоте "h" треугольника,

2) Определяем точку "2": y 2 =K * h; x 2 = K * a 1 ; где 0<K<1; a 1 =h/tg(fp 1 );

3) Определяем точку "1": x 1 =x 2 - L * cos(al 1 ); y 1 = y 2 - L * sin(al 1 ); из которой в точку “ 2” проводим вектор заданной длины "L" под заданным углом al 1 .

4) Определяем угол падения луча: fi 1 =Pi/ 2 +al 1 - fp 1 ; угол преломления луча: fi 2 :=arcsin(sin(fi 1 ) * n 1 /n 2 ) и угол наклона луча к оси "Х": al 2 =al 1 +fi 2 - fi 1 .

5) Решая совместно уравнение для луча и стороны треугольника, определяем точку "3": x 3 = (x 2 * tg(al 2 )+a * tg(fp 2 ) - y 2 )/(tg(al 2 )+tg(fp 2 )); y 3 := (a - x 3 ) * tg(fp 2 ); где a= a 1 +a 2 ; a 2 =h/tg(fp 2 ); к которой проводим из т. "2" вектор.

6) Определяем угол падения луча: fi 3 = Pi/2 - al 2 - fp 2 ; угол преломления луча: fi 4 :=arcsin(sin(fi 3 ) * n 2 /n 1 ) и угол наклона луча к оси "Х": al 4 =al 2 +fi 3 - fi 4 .

7) Строим луч, выходящий из т. "3" в т. "4": x 4 =x 3 +L * cos(al 4 ); y 4 =y 3 +L * sin(al 4 ).

Рассмотрим задачу построения траектории лучей при отражении от параболического зеркала.

Парабола описывается уравнением Y 2 = 2 * P * X, где X - ось параболы. Фокус параболы находится в точке X f = P/2, Y f = 0.

Приведем алгоритм построения отраженного луча , падающего на параболическое зеркало параллельно оси "X".

Известно, что в этом случае отраженные лучи проходят через фокус.

1) В диапазоне 0<=X<=X_Max строим параболу Y = ± O (2 * P * X).

•  Выбираем некоторую точку на параболе с координатами 0 < Xp < X_Max, Yp= O ( 2 * P * Xp). 3) Строим падающий луч - вектор с началом в точке X 1 =X_Max, Y 1 =Yp и концом в точке Xp, Yp. Строим отраженный луч - вектор с началом в точке Xp, Yp и концом в точке Y 2 =0, X 2 =Xp - Yp/tg(2 * fi). Где fi - угол наклона касательной к параболе в точке падения луча. Tg(fi)=P/Yp, Tg(2 * fi)=2 * Tg(fi)/(1 - Tg 2 (fi)).

Рассмотрим задачу построения траектории лучей при отражении от цилиндрического зеркала в поперечном сечении.

Пусть луч выходит из источника с координатами (r 1 , f 1 ) под углом a 1 к оси "X". Радиус зеркала R. После отражения от поверхности в т. "2" луч приходит в т. "3". Обозначим b - угол падения луча в точке "2", f 2 - угол с осью "X" радиуса - вектора т. "2". Очевидно, что R * sin(f 2 - a 1 )=r 1 * sin(f 1 - a 1 ), b=f 2 - a 1 ; - постоянная величина, f 3 =f 2 +2 * b+Pi - рекуррентная зависимость. Для расчета координат в точке "i" запишем:

f i = f i-1 +2 * b+Pi; x i = R * cos(f i ); y i = R * sin(f i ); i = 3, 4, . . .

Алгоритм расчета траектории луча следующий:

1) Задаем R, r 1 , f 1 , a 1 и вычисляем x 1 =r 1 * cos(f 1 ), y 1 =r 1 * sin(f 1 ).

2) Рисуем окружность радиуса R и вычисляем f 2 = a 1 + arcsin(r 1 /R * sin(f 1 - a 1 )).

3) В цикле (до нажатия клавиши) вычисляем: x 2 =R * cos(f 2 ), y 2 =R * sin(f 2 ); рисуем вектор из т. "1" в т. "2" , присваиваем: x 1 =x 2 , y 1 =y 2 , f 2 =f 2 +2 * b+Pi;

Практическое задание N 2. 19

1. Построить траектории падающих, преломленных и отраженных лучей при прохождении границы раздела воздуха (na=1) и воды (nw=1. 3). Рассмотреть случаи нахождения источника света в воздухе ( - 1. 5 * fio <= fi <= 1. 5 * fio; dfi = 0. 25 * fio) и в воде ( - 1. 4 * fip<=fi<=1. 4 * fip; dfi=0. 2 * fip). Вывести на экран значение fip или fio.

2. Построить траектории падающих и преломленных лучей, проходящих через призму, с учетом разложения белого луча на составляющие.

3. Построить траектории отраженных лучей, падающих на параболическое зеркало параллельно оси "X". Вывести координату "X" точек пересечения отраженных лучей с осью параболы. Задать X_Max=11; P=4; Xpi=1, 3, 5, 7, 9.

Построить лучи, выходящие из фокуса параболы.

•  Построить траектории отраженных лучей, падающих на цилиндрическое зеркало из точки, расположенной внутри окружности.

Интерференция волн.

Рассмотрим примеры наложения (интерференции) двух поперечных волн, движущихся по одной прямой. Поперечными называют волны, движущиеся в направлении, перпендикулярном колебаниям частиц среды. Уравнение волны, движущейся в направлении оси "X" имеет вид:

Y = A * sin(p * (t - X/V) + fi);

Где A - амплитуда, V - скорость движения волны,

fi - начальный сдвиг по фазе, t - параметр времени,

p - круговая частота поперечных колебаний волны.

Отметим, что скорость движения волны зависит от характеристик среды, а амплитуда и частота от характеристик источника колебаний.

Если волны, распространяющиеся от двух источников имеют одинаковую частоту, то результирующая волна в каждой точке "X" имеет постоянную по времени амплитуду колебаний. Если одна волна движется навстречу другой и волны имеют одинаковые характеристики (A, V, p), то в результате интерференции образуется стоячая волна. Результирующее уравнение при наложении двух волн получается из принципа независимости (суперпозиции) распространения волн: Y = Y 1 + Y 2 .

Приведем алгоритм построения движущейся (бегущей) волны. Здесь полагается, что линия вдоль которой движется волна бесконечная. Пусть при t=0 волна начинает движение из точки X=0, Y=0 с начальной фазой fi=0.

1) Разобьем отрезок 0<=x<=L на котором будет строиться волна на "N" участков и рассмотрим колебание точек с координатами Xi, этого отрезка (0<=i<=N).

2) Для каждой "i" - ой точки отрезка в момент времени t>0 значение координаты "Y 1 i" определяется по формуле:

Y 1 i = A 1 * sin(p 1 * (t - Xi/V)); при t >= Xi/V; иначе Y 1 i=0;

3) Соединяя линиями точки с координатами (Xi, Y 1 i), получаем конфигурацию волны в момент времени "t", затем следует задержка и стирание кривой. Далее повторяются п. п. 2 и 3 при t=t+dt. Промежуток "dt" можно вычислить по формуле: dt=L/V/N.

В случае отражения волны на границе X=L, при t>L/V происходит наложение исходной и отраженной волн. Отраженная волна описывается уравнением:

Y 2 i= A 2 * sin(p 2 * (t + Xi/V)+fi 2 ); при t>(2 * L-Xi)/V; иначе Y 2 i=0;

Результирующее колебание в точках Xi: Yi = Y 1 i + Y 2 i; p 1 =p 2 =p.

Здесь полагается, что линия вдоль которой движется волна полубесконечная.

Начальная фаза "fi 2 " отраженной волны зависит от граничных условий, например, в случае жесткого закреплении струны Y=0 при x=L, следовательно:

p * (t - L/V) = p * (t + L/V)+fi 2 +Pi, откуда fi 2 = - 2 * p * L/V - Pi.

В случае стоячей волны A 1 =A 2 и p 1 =p 2 .