Индуктивные функции

Скачать программы Все программы автора

1.3. Индуктивные функции

Пусть M - некоторое множество. Функция f, аргументами которой являются последовательности элементов множества M, а значениями - элементы некоторого множества N, называется индуктивной, если ее значение на последовательности x[1]..x[n] можно восстановить по ее значению на последовательности x[1]..x[n-1] и по x[n], т. е. если существует функция F из N*M (множество пар , где n - элемент множества N, а m - элемент множества M) в N, для которой

f() = F ( f(), x[n]).

Схема алгоритма вычисления индуктивной функции:

k := 0; f := f0;

{инвариант: f - значение функции на }

while k<>n do begin

k := k + 1;

f := F (f, x[k]);

end;

Здесь f0 - значение функции на пустой последовательности (последовательности длины 0). Если функция f определена только на непустых последовательностях, то первая строка заменяется на "<x[1]>k := 1; f := f ();"<x[1]...x[n]><x[1]...x[n]><x[1]...x[n]>

Если функция f не является индуктивной, полезно искать её индуктивное расширение - индуктивную функцию g, значения которой определяют значения f (это значит, что существует такая функция t, что f () = t (g ()) при всех ). Можно доказать, что среди всех индуктивных расширений существует минимальное расширение F (минимальность означает, что для любого индуктивного расширения g значения F определяются значениями g).

1.3.1. Указать индуктивные расширения для следующих функций:

(а) среднее арифметическое последовательности вещественных чисел;
(б) число элементов последовательности целых чисел, равных ее максимальному элементу;
(в) второй по величине элемент последовательности целых чисел (тот, который будет вторым, если переставить члены в неубывающем порядке);
(г) максимальное число идущих подряд одинаковых элементов;
(д) максимальная длина монотонного (неубывающего или невозрастающего) участка из идущих подряд элементов в последовательности целых чисел;
(е) число групп из единиц, разделенных нулями (в последовательности нулей и единиц).

Решение.

(а) <сумма всех членов последовательности; длина>;
(б) <число элементов, равных максимальному; значение максимального>;
(в) <наибольший элемент последовательности; второй по величине элемент>;
(г) <максимальное число идущих подряд одинаковых элементов; число идущих подряд одинаковых элементов в конце последовательности; последний элемент последовательности>;
(д) <максимальная длина монотонного участка; максимальная длина неубывающего участка в конце последовательности; максимальная длина невозрастающего участка в конце последовательности; последний член последовательности>;
(е) <число групп из единиц, последний член>.

1.3.2. (Сообщил Д.Варсонофьев.) Даны две последовательности x[1]..x[n] и y[1]..y[k] целых чисел. Выяснить, является ли вторая последовательность подпоследовательностью первой, т. е. можно ли из первой вычеркнуть некоторые члены так, чтобы осталась вторая. Число действий порядка n+k.

Решение. (вариант 1) Будем сводить задачу к задаче меньшего размера.

n1:=n;

k1:=k;

{инвариант: искомый ответ <=> возможность из x[1]..x[n1] получить

y[1]..y[k1] }

while (n1 > 0) and (k1 > 0) do begin

if x[n1] = y[k1] then begin

n1 := n1 - 1;

k1 := k1 - 1;

end else begin

n1 := n1 - 1;

end;

{n1 = 0 или k1 = 0; если k1 = 0, то ответ - да, если k1<>0

(и n1 = 0), то ответ - нет}

answer := (k1 = 0);

Мы использовали то, что если x[n1] = y[k1] и y[1]..y[k1] - подпоследовательность x[1]..x[n1], то y[1]..y[k1-1] - подпоследовательность x[1]..x[n1-1].

(вариант 2) Функция x[1]..x[n1] -> (максимальное k1, для которого y[1]..y[k1] есть подпоследовательность x[1]..x[n1]) индуктивна.

1.3.3. Даны две последовательности x[1]..x[n] и y[1]..y[k] целых чисел. Найти максимальную длину последовательности, являющейся подпоследовательностью обеих последовательностей. Количество операций порядка n*k.

Решение (сообщено М.Н.Вайнцвайгом, А.М.Диментманом). Обозначим через f(n1,k1) максимальную длину общей подпоследовательности последовательностей x[1]..x[n1] и y[1]..y[k1]. Тогда

x[n1] <> y[k1] => f(n1,k1) = max (f(n1,k1-1), f(n1-1,k1));

x[n1] = y[k1] => f(n1,k1) = max (f(n1,k1-1), f(n1-1,k1),

f(n1-1,k1-1)+1 );

(Поскольку f(n1-1,k1-1)+1 ><f(n1,0), ..., f(n1,k)>= f(n1,k1-1), f(n1-1,k1), во втором случае максимум трех чисел можно заменить на третье из них.)

Поэтому можно заполнять таблицу значений функции f, имеющую размер n*k. Можно обойтись и памятью порядка k (или n), если индуктивно (по n1) выписать (как функция от n1 этот набор индуктивен).

1.3.4. (из книги Д.Гриса) Дана последовательность целых чисел x[1],..., x[n]. Найти максимальную длину ее возрастающей подпоследовательности (число действий порядка n*log(n)).

Решение. Искомая функция не индуктивна, но имеет следующее индуктивное расширение: в него входят помимо максимальной длины возрастающей подпоследовательности (обозначим ее k) также и числа u[1],...,u[k], где u[i] = (минимальный из последних членов возрастающих подпоследовательностей длины i). Очевидно, u[1] <= ... <= u[k]. При добавлении нового члена x значения u и k корректируются.

n1 := 1; k := 1; u[1] := x[1];

{инвариант: k и u соответствуют данному выше описанию}

while n1 <> n do begin

n1 := n1 + 1;

...

{i - наибольшее из тех чисел отрезка 1..k, для кото рых u[i] < x[n1]; если таких нет, то i=0 }

if i = k then begin

k := k + 1;

u[k+1] := x[n1];

end else begin {i < k, u[i] < x[n1] <= u[i+1] }

u[i+1] := x[n1];

end;

Фрагмент ... использует идею двоичного поиска; в инварианте условно полагаем u[0] равным минус бесконечности, а u[k+1] - плюс бесконечности; наша цель: u[i] < x[n1] <= u[i+1].

i:=0; j:=k+1;

{u[i] < x[n1] <= u[j], j > i}

while (j - i) <> 1 do begin

s := i + (j-i) div 2; {i < s < j}

if x[n1] <= u[s] then begin

j := s;

end else begin {u[s] < x[n1]}

i := s;

end;

{u[i] < x[n1] <= u[j], j-i = 1}

Замечание. Более простое (но не минимальное) индуктивное расширение получится, если для каждого i хранить максимальную длину возрастающей подпоследовательности, оканчивающейся на x[i]. Это расширение приводит к алгоритму с числом действий порядка n*n.

1.3.5. Какие изменения нужно внести в решение предыдущей задачи, если надо искать максимальную неубывающую последовательность?