Скачать программы Все программы автораАлгоритмы на графахВ этом разделе рассматриваются различные варианты одной задач. Пусть имеется n городов, пронумерованных числами от 1 до n. Для каждой пары городов с номерами i, j в таблице a[i][j] хранится целое число - цена прямого авиабилета из города i в город j. Считается, что рейсы существуют между любыми городами, a[i][i] = 0 при всех i, a[i][j] может отличаться от a[j][i]. Наименьшей стоимостью проезда из i в j считается минимально возможная сумма цен билетов для маршрутов (в том числе с пересадками), ведущих из i в j. (Она не превосходит a[i][j], но может быть меньше.) В предлагаемых ниже задачах требуется найти наименьшую стоимость проезда для некоторых пар городов при тех или иных ограничениях на массив a и на время работы алгоритма. 9.1.1. Предположим, что не существует замкнутых маршрутов, для которых сумма цен отрицательна. Доказать, что в этом случае маршрут с наименьшей стоимостью существует. Решение. Маршрут длиной больше n всегда содержит цикл, поэтому минимум можно искать среди маршрутов длиной не более n, а их конечное число. Во всех следующих задачах предполагается, что это условие (отсутствие циклов с отрицательной суммой) выполнено. 9.1.2. Найти наименьшую стоимость проезда из 1-го города во все остальные за время O(n в степени 3). Решение. Обозначим через МинСт(1,s,k) наименьшую стоимость проезда из 1 в s менее чем с k пересадками. Тогда выполняется такое соотношение: МинСт (1,s,k+1) = наименьшему из чисел МинСт(1,s,k) и МинСт (1,i,k) + a[i][s] (i=1..n) Как отмечалось выше, искомым ответом является МинСт(1,i,n) для всех i=1..n. k:= 1; for i := 1 to n do begin x[i] := a[1][i]; end; {инвариант: x[i] = МинСт(1,i,k)} while k <> n do begin | for s := 1 to n do begin | | y[s] := x[s]; | | for i := 1 to n do begin | | | if y[s] > x[i]+a[i][s] then begin | | | | y[s] := x[i]+a[i][s]; | | | end; | | end | | {y[s] = МинСт (1,s,k+1)} | end; | for i := 1 to n do begin x[s] := y[s]; end; | k := k + 1; end; Приведенный алгоритм называют алгоритмом динамического программирования, или алгоритмом Форда - Беллмана. 9.1.3. Доказать, что программа останется правильной, если не заводить массива y, а производить изменения в самом массиве x (заменив в программе все вхождения буквы y на x и затем удалить ставшие лишними строки). Решение. Инвариант будет таков: МинСт(1,i,n) <= x[i] <= MинСт(1,i,k) Этот алгоритм может быть улучшен в двух отношениях: можно за то же время O(n в степени 3) найти наименьшую стоимость проезда i->j для ВСЕХ пар i,j (а не только при i=1), а можно сократить время работы до O(n в степени 2). Правда, в последнем случае нам потребуется, чтобы все цены a[i][j] были неотрицательны. 9.1.4. Найти наименьшую стоимость проезда i->j для всех i,j за время O(n в степени 3). Решение. Для k = 0..n через А(i,j,k) обозначим наименьшую стоимость маршрута из i в j, если в качестве пересадочных разрешено использовать только пункты с номерами не больше k. Тогда A(i,j,0) = a[i][j], а A(i,j,k+1) = min (A(i,j,k), A(i,k+1,k)+A(k+1,j,k)) (два варианта соответствуют неиспользованию и использованию пункта k+1 в качестве пересадочного; отметим, что в нем незачем бывать более одного раза). Этот алгоритм называют алгоритмом Флойда. 9.1.5. Известны, что все цены неотрицательны. Найти наименьшую стоимость проезда 1->i для всех i=1..n за время O(n в степени 2). Решение. В процессе работы алгоритма некоторые города будут выделенными (в начале - только город 1, в конце - все). При этом:
Множество выделенных городов расширяется на основании следующего замечания: если среди всех невыделенных городов взять тот, для которого хранимое число минимально, то это число является истинной наименьшей стоимостью. В самом деле, пусть есть более короткий путь. Рассмотрим первый невыделенный город на этом пути - уже до него путь длиннее! (Здесь существенна неотрицательность цен.) Добавив выбранный город к выделенным, мы должны скорректировать информацию, хранимую для невыделенных городов. При этом достаточно учесть лишь пути, в которых новый город является последним пунктом пересадки, а это легко сделать, так как минимальную стоимость проезда в новый город мы уже знаем. При самом бесхитростном способе хранения множества выделенных городов (в булевском векторе) добавление одного города к числу выделенных требует времени O(n). Этот алгоритм называют алгоритмом Дейкстры. Отыскание кратчайшего пути имеет естественную интерпретацию в терминах матриц. Пусть A - матрица цен одной авиакомпании, а B - матрица цен другой. Пусть мы хотим лететь с одной пересадкой, причем сначала самолетом компании A, а затем - компании B. Сколько нам придется заплатить, чтобы попасть из города i в город j? 9.1.6. Доказать, что эта матрица вычисляется по обычной формуле для произведения матриц, только вместо суммы надо брать минимум, а вместо умножения - сумму. 9.1.7. Доказать, что таким образом определенное произведение матриц ассоциативно. 9.1.8. Доказать, что задача о кратчайших путях эквивалентна вычислению "бесконечной степени" матрицы цен A: в последовательности A, A*A, A*A*A,... все элементы, начиная с некоторого, равны искомой матрице стоимостей кратчайших путей. (Если нет отрицательных циклов!) 9.1.9. Начиная с какого элемента можно гарантировать равенство в предыдущей задаче? Обычное (не модифицированное) умножение матриц тоже может оказаться полезным, только матрицы должны быть другие. Пусть есть не все рейсы (как раньше), а только некоторые, a[i][j] равно 1, если рейс есть, и 0, если рейса нет. Возведем матрицу a (обычным образом) в степень k и посмотрим на ее i-j-ый элемент. 9.1.10. Чему он равен? Ответ. Числу различных способов попасть из i в j за k рейсов (с k-1 пересадками). Случай, когда есть не все рейсы, можно свести к исходному, введя фиктивные рейсы с бесконечно большой (или достаточно большой) стоимостью. Тем не менее возникает такой вопрос. Число реальных рейсов может быть существенно меньше n*n, поэтому интересны алгоритмы, которые работают эффективно в такой ситуации. Исходные данные естественно представлять тогда в такой форме: для каждого города известно число выходящих из него рейсов, их пункты назначения и цены. 9.1.11. Доказать, что алгоритм Дейкстры можно модифицировать так, чтобы для n городов и m рейсов (всего) он требовал не более C*(n+k)*log n операций. Указание. Что надо сделать на каждом шаге? Выбрать невыделенный город с минимальной стоимостью и скорректировать цены для всех городов, в которые из него есть маршруты. Если бы кто-то сообщал нам, для какого города стоимость минимальна, то хватило бы C*(n+m) действий. А поддержание сведений о том, какой элемент в массиве минимален (см. задачу 6.4.1 в главе о типах данных) обходится еще в множитель log n. |